Snadný výpočet změny sklonu dráhy

Po kratší přestávce opět přichází další díl našeho nepravidelného seriálu, který se snaží přehledným způsobem ukázat, že výpočty v kosmonautice nemusí být nepochopitelné a že je možné do nich proniknout docela snadno. Matematika je pro mnoho žáků a studentů nepříjemný předmět, proto se náš seriál snaží všechny potřebné údaje vysvětlit srozumitelně, aby obsahu porozuměli i ti, kdo si s čísly obvykle moc netykají. Dnes se zaměříme na změnu sklonu oběžné dráhy.

V minulém díle našeho seriálu jsme se naučili počítat změnu rychlosti, tzv. Δv při přechodu z jedné oběžné dráhy na druhou. Jako příklad nám sloužil přesun telekomunikační družice z parkovací oběžné dráhy ve výšce 300 km na dráhu geostacionární. To byla ale pouze hypotetická hodnota, která počítala se startem z rovníku. V reálném světě jsou ale kosmodromy umístěné mimo rovník a družice, které chtějí na geostacionární dráhu, musí vlastními motory snížit sklon oběžné dráhy na nulu.

Pokud se ještě vrátíme k našemu příkladu z minulého dílu, tak jsme zjistili, že pro přechod z jedné kruhové dráhy na druhou potřebujeme dva zážehy. První byl na kruhové oběžné dráze s rychlostí vk1 (kruhová rychlost 1), kdy jsme vytvořili protáhlou eliptickou oběžnou dráhu a družice měla v periapsidě rychlost vep (rychlost na elipse v periapsidě). Stačilo od vep odečíst vk1 a získali jsme Δv1, tedy změnu rychlosti pro první zážeh. V apoapsidě měla družice rychlost vea (rychlost na elipse v apoapsidě) a musela zažehnout svůj motor, aby dosáhla rychlosti vk2 (kruhová rychlost 2). Opět jsme pak od vk2 odečetli vea, čím jsme získali Δv2, tedy změnu rychlosti při druhém zážehu. Nyní už stačilo jen sečíst Δv1 s Δv2 no a výsledkem bylo celkové Δv pro manévr. V dnešním případě ale budeme kromě toho ještě měnit sklon oběžné dráhy. Jak naznačuje zjednodušený diagram, postup bude v zásadě podobný.

Diagram ukazující výpočet Δv u jednoduchých změn oběžných drah (nahoře) a u změny oběžné dráhy spojené se změnou sklonu k rovníku (dole)

Diagram ukazující výpočet Δv u jednoduchých změn oběžných drah (nahoře) a u změny oběžné dráhy spojené se změnou sklonu k rovníku (dole)
Zdroj: autor

Jelikož známe velikost úhlu α mezi odvěsnou vea a přeponou vk2, potřebujeme vypočítat protilehlou odvěsnu, použijeme goniometrickou funkci kosinus. V minulém díle jsme si vypočítali, že vea je 1610 m/s a vk2 je 3079 m/s. Dejme tomu, že satelit bude na naši misi startovat z mysu Canaveral, který leží na 28° rovnoběžce. Nejnižší sklon oběžné dráhy k rovníku je tedy 28°. Zkusíme tedy vypočítat, jaké Δv bude satelit potřebovat pro přechod na geostacionární dráhu. Vzorec vypadá na první pohled trochu divoce, ale ve skutečnosti se pořád jedná o odvozeninu jednodušší verze, kterou už známe.

Vzorec pro výpočet Δv při změně sklonu oběžné dráhy

Vzorec pro výpočet Δv při změně sklonu oběžné dráhy
Zdroj: Autor

Pokud tedy dosadíme hodnoty rychlosti, které jsme předtím vypočítali (viz minulý díl) bude vzorec vypadat takto:

Výpočet Δv pro změnu sklonu oběžné dráhy

Výpočet Δv pro změnu sklonu oběžné dráhy
Zdroj: Autor

Po vypočítání dojdeme k výsledku 1821 m/s. Vzpomeňte si, že pokud jsme sklon oběžné dráhy neměnili, bylo Δv pro druhý zážeh jen 1470 m/s. Pokud by družice startovala třeba z Kourou, které je pouze , bylo by Δv pro druhý zážeh jen 1481 m/s! Naopak z Bajkonuru, který leží na 46° rovnoběžce by bylo na druhý zážeh potřeba 2277 m/s. Tady je jasně vidět, jak významný pro úsporu pohonných hmot je kosmodrom v blízkosti rovníku. Pro pořádek připomínám, že pro výpočet Δv v případě Kourou a Bajkonuru jsem použil stejné rychlosti, změnil se pouze úhel. Rychlosti na oběžné dráze jsou totiž shodné bez ohledu na jejich sklon k oběžné dráze.

minulém díle jsme vypočítali, že pro první zážeh, kdy přecházíme z kruhové dráhy na eliptickou potřebujeme 2432 m/s. Pokud tuto hodnotu sečteme s výsledkem našeho výpočtu, tedy 1821 m/s, vyjde nám, že celkové Δv pro dosažení geostacionární dráhy při startu z mysu Canaveral je 4253 m/s.

Možná si říkáte, proč se sklon oběžné dráhy mění až při druhém zážehu. Nešlo by to udělat při prvním zážehu, kdy protahujeme původní parkovací dráhu do elipsy? Jistě šlo by to, ale nepoužívá se to. Proč? Na to nám odpoví jednoduchý výpočet, ve kterém zkusíme nasimulovat následující situaci. Jsme tedy na parkovací dráze ve výšce 300 km (máme rychlost 7 737 m/s), chceme vytáhnout apoapsidu do výšky 35 800 km, což by znamenalo dosáhnout rychlosti 10 169 m/s a přitom ještě změníme sklon oběžné dráhy z 28° na . Vzorec by pak vypadal takto.

Zkoušíme měnit sklon dráhy v periapsidě.

Zkoušíme měnit sklon dráhy v periapsidě.
Zdroj: Autor

Po vypočítání s hrůzou zjistíme, že takový manévr by potřeboval Δv 4938 m/s! Pokud bychom pak v apoapsidě zakulatili oběžnou dráhu, na což je potřeba 1470 m/s, vyšlo by nám celkové Δv na 6402 m/s! Jak sami vidíte, je to oproti tradičně používaným 4253 m/s mnohem více. Nyní už je jasné, proč je výhodnější provádět změny sklonu dále od Země. V čím nižší rychlosti totiž manévr provedeme, tím méně náročný je.

Start rakety Falcon 9 v1.1 s družicí Thaicom6

Start rakety Falcon 9 v1.1 s družicí Thaicom6
Zdroj: http://www.launchphotography.com/

S tím souvisí i případ, který v nedávných týdnech vzbudil velkou pozornost kosmonautické veřejnosti. Raketa Falcon9 v1.1 tehdy vynášela telekomunikační satelit na dráhu přechodnou ke geostacionární velmi neobvykle. Běžná praxe funguje následovně – raketa vynese z parkovací dráhy satelit na eliptickou dráhu s apogeem ve výšce 35 800 km a tím její práce končí. Satelit se po oddělení od horního stupně postará o změnu sklonu oběžné dráhy a zakulatí svou orbitu. SpaceX na to šla ale jinak. Její horní stupeň totiž vynesl náklad na výrazně protáhlou eliptickou dráhu s apogeem ve výšce 90 000 km. Proč? Na to nám odpoví následující výpočet.

Začneme prvním zážehem. Zatímco u tradiční metody je potřeba ze 7737 m/s zrychlit na 10169 m/s, máme tedy Δv 2432 m/s, tak u metody SpaceX muselo být celých 2847 m/s, jelikož se letělo na vzdálenější apoapsidu, zrychlovalo se na rychlost 10584 m/s. V této fázi zatím vede tradiční přístup ale pojďme dál.

Družice se oddělila od horního stupně a v apogeu vynulovala sklon a zakulatila oběžnou dráhu. Dnes jsme si vypočítali, že při tradiční metodě je k tomuto manévru potřeba 1821 m/s. Jak tomu bylo ale v případě satelitu Thaicom6? V apoapsidě ve výšce 90 000 km měl rychlost 733 m/s. Tady se pustil do změny sklonu oběžné dráhy a zakulacování oběžné dráhy. Pokud by se neměnil sklon oběžné dráhy a pouze by se vytáhla periapsida do výšky 35800 km, bylo by k tomu potřeba zrychlit na 1589 m/s, což dělá Δv 856 m/s. Jenže satelit musí udělat i změnu sklonu dráhy. Po dosažení čísel do výše vysvětleného vzorce dostaneme následující podobu:

Druhý zážeh při dopravě Thaicomu6

Druhý zážeh při dopravě Thaicomu6
Zdroj: Autor

Po vypočítání nám vyjde celkové Δv pro druhý zážeh 1002 m/s. Nyní má družíce periapsidu ve výšce geostacionární dráhy a stačí jí snížit apoapsidu. Jelikož v periapsidě letí rychlostí 3632 m/s, musí zpomalit na již známou rychlost na geostacionární dráze, tedy 3079 m/s. To dělá Δv 553 m/s. A jdeme porovnávat.

Zatímco při tradiční verzi byla změna rychlosti horního stupně 2432 m/s, u SpaceX to bylo 2847 m/s. Pro raketu SpaceX to tedy bylo náročnější. Satelit na tom ale vydělal. Tradiční model totiž požadoval od družice, aby po oddělení od rakety zakulatila oběžnou dráhu a srovnala sklon při jednom zážehu, což vyžadovalo Δv 1821 m/s. U SpaceX musel udělat satelit po oddělení od horního stupně sice zážehy dva (1002 m/s a 553 m/s), ale pokud je sečteme, zjistíme, že satelit Thaicom6 vynášený v režii SpaceX vykonal celkové Δv pouze 1555 m/s! Ve srovnání s tradičním modelem tedy ušetřil 266 m/s. A to všechno jen za cenu trochu vyššího Δv u prvního zážehu, který vytahoval parkovací dráhu na eliptickou. O ten se ale nestaral satelit, ale motor horního stupně.

Ačkoliv se na první pohled mohla zdát zvolená metodika letu komplikovaná, čísla jasně ukazují, že se jednalo o dobře promyšlený tah, který SpaceX moc nestál a zákazník na tom vydělal. Náš nepravidelný seriál tímto dílem nekončí. V dalších dílech se podíváme na další výpočty, které se týkají kosmonautiky.

P.S. Pokud se v záplavě čísel v tomto díle ztrácíte a nevíte, odkud jsem vzal čísla, která při výpočtech používám, doporučím Vám vrátit se k prvnímu a druhému dílu našeho seriálu o výpočtech, kde jsou všechny vzorce podrobně vysvětlené.

Zdroje informací:
http://www.youtube.com/
http://www.kosmonautix.cz/

Zdroje obrázků:
http://www.braeunig.us/space/pics/fig4-13.gif
http://www.launchphotography.com/THAICOM_6_9.jpg

Snadný výpočet změny sklonu dráhy, 2.5 out of 5 based on 14 ratings
Pin It
(Visited 3 105 times, 1 visits today)
Kontaktujte autora článku - hlášení chyb a nepřesností, rady, či připomínky

Hlášení chyb a nepřesnostíClose

VN:F [1.9.22_1171]
Rating: 2.5/5 (14 votes cast)
(Visited 3 105 times, 1 visits today)
Níže můžete zanechat svůj komentář.

Více se o tomto tématu dočtete zde »
(odkaz vede na příslušné vlákno diskuzního fóra www.kosmonautix.cz)


4 komentáře ke článku “Snadný výpočet změny sklonu dráhy”

  1. Edo napsal:

    Som začiatočník a nejako mám v tom trocha nejasno. Na nižšej dráhe napr 300 km je obežná rýchlosť 7739 m/s a vyššej napr 412 km je 7676 m/s (čo je menej). Ale aby sme z nižšej obežnej dráhy dosiahli vyššiu obežnú dráhu musime urobiť zážehy čím sa zvýšuje rýchlosť telesa. Ale čím je vyššia dráha, tým je predsa obežná rýchlosť nižšia! Kam sa nám stráca tá dodaná rýchlosť. Vopred ďakujem za vysvetlenie.

    • Dušan Majer napsal:

      Hezký den,
      zkusím to popsat srozumitelně. Máte pravdu, že čím je těleso na vyšší oběžné dráze, tím nižší rychlostí se pohybuje, ale to platí u kruhových drah. Jakmile dráhu protáhneme tak, že se z ní stane elipsa, tak se najednou začne projevovat, že v apoapsidě letí těleso nejpomaleji a v periapsidě nejrychleji. Třeba na oběžné dráze 300 x 90 000 km je rychlost v periapsidě 10 584 m/s a v apoapsidě 733 m/s. Čím je to způsobeno? Když jsme na kruhové dráze a chceme ji protáhnout na dráhu eliptickou, udělíme tělesu rychlost, abychom zvýšili kinetickou energii tělesa a to pak „setrvačností“ doletělo dál od planety. Družice totiž na eliptické dráze (zjednodušeně řečeno) mění výšku za rychlost. Proletí apoapsidou a najednou začne „padat“ k Zemi, její gravitace je stále silnější, pořád ji víc a víc přitahuje, takže roste její rychlost.

  2. Milan Štrup napsal:

    Za tyhle články by měl být speciální metál. Taky jsem si tu oprášil některé zřídka používané znalosti.

Zanechte komentář